A hazug, barátai, rokonai és üzletfelei
„Minden krétai hazudik” – mondta egy krétai. Pál apostol így vélekedik (Károli nyelvén): „… e bizonyság igaz…”. A közvélekedés ezzel szemben az, hogy a krétai, aki ezt mondta (Epimenidészt, a hét bölcs egyikét szokták emlegetni) saját magát cáfolta meg, tehát paradox állítást tett. Tényleg, biztosak lehetünk ebben? Vizsgáljuk meg egy kicsit közelebbről (logikailag). De egy kis történeti vizsgálódás is érdekes tanulságokkal járhat – attól kezdve, hogy ténylegesen kinek a fejéből pattanhatott ki ez a „hazug paradoxona” néven ismert ötlet, a számtalan ókori és középkori variáns némelyikébe is érdemes bepillantani, de a legfontosabb az a megtermékenyítő hatás, amit a matematikai-logikai gondolkodásra gyakorolt, egészen pontosan a 20. század elejétől kezdve. Russell 1901-ben fedezte föl a róla elnevezett paradoxont, ami ugyan nem mondatokról meg krétaiakról szól, hanem halmazokról meg az eleme-relációról, de a rokonság azért kézenfekvő. A legnevezetesebb és legközelibb logikai rokon Gödel bizonyítása arra, hogy a legfontosabb matematikai elméletekben vannak az elméleten belül nem bizonyítható és nem cáfolható állítások. Hogy a rokonság világosabb legyen, érdemes megszemélyesíteni a mondatainkat. A csapdát, amibe Pál apostol is belesétált, úgy kerülhetjük el, ha az egyik mondatunk így szól: ”Én nem vagyok igaz”. Ez már kétségtelenül paradox, és ha egy matematikai elmélet egyik mondata így beszél, azzal az elmélettel nagy baj van. De mi van akkor, ha ehelyett azt mondja: „Én nem vagyok bizonyítható”? Gödel mondata épp ezt teszi, a bizonyítása meg arról szól, hogy minden olyan elméletben, amiben a természetes számok valahogyan ott vannak, van (legalább egy) olyan mondat, amely „szóra bírható” ilyen módon. Ezt jobb tudomásul venni; de akkor mi lesz azzal az elképzelésünkkel, hogy a matematikai igazság nem jelenthet mást, mint bizonyíthatóságot?

 

A megszemélyesítésben egy kicsit tovább is mehetünk. Eljátszhatunk egy kicsit azzal, hogy megérkezünk a logika szigetére, és kikérdezzük a szigetlakókat. Egy részük mindig igazat mond: ők a lovagok. A többiek mindig hazudnak: ők a lókötők.
- Ha találkozunk egy szigetlakóval és megkérdezzük, lókötő-e, mit fog válaszolni? Állíthatja-e, hogy ő maga lókötő?
- Ha két szigetlakóval találkozunk, állíthatja-e az egyikük ezt: „Én lókötő vagyok, de a társam lovag”?
- Ismét két szigetlakóval találkozunk, és ezt a kérdést tesszük fel az egyiküknek: „Lovag-e valamelyikőtök?” A válaszból megtudjuk, hogy mi az igazság. Mi volt a válasz és mi a helyzet?
- Két bennszülöttől megkérdezzük, hogy a másik micsoda. Ugyanazt a választ kapjuk-e?
- Mi az, amit megtudunk a válaszokból?
(Máté András)